Présentation - Sujet - Corrigé

Lecture et décodage

P  : Pivot d'axe une droite SC : Sphère de centre un point      Cylindre d'axe une droite

Analyse de chaque pièce (sommet du graphe)

		Invariants géométriques
Bâti 1		Il existe sur 1 deux droites parallèles. Soit e l'entraxe : A1C1 = e.x1
Manivelle 2		Il existe sur 2 une droite et un point. Soit R la distance du point à la droite : A2B2 = R.x2
Coulisseau 3		Il existe sur 3 deux droites sécantes et perpendiculaires

Deux dimensions vont à priori intervenir dans la loi d'entrée-sortie : R et e

Analyse de chaque liaison (arc du graphe)

Equations de fermeture cinématique

Le mécanisme comporte une chaîne fermée de solides, 1-2-3-1, on dispose donc de l'équation torsorielle suivante :

Analyse du système d'équations

On obtient un système de six équations à six inconnues.
On souhaite obtenir la loi d'entrée-sortie, donc une fonction de la forme :

Existe-t-il une équation scalaire évitant les quatre inconnues non désirées ?

Résolution

Ecrivons l'équation de moment en B scalaire y₃

Ce qui donne, tous calculs faits

Conclusion

On obtient une équation de la forme

Celle-ci fait intervenir les paramètres géométriques l₂₃ et a₃₁. Il est nécessaire dans ce cas de compléter l'étude cinématique par une étude géométrique, pour essayer d'exprimer ces deux paramètres en fonction de a₂₁, R et e.

Au vu de ce schéma, une solution existe. Néanmoins, un logiciel de calcul formel serait le bienvenu à ce stade pour traiter le système d'équations obtenu

Résultats obtenus avec le logiciel Maple

Les équations suivantes n'ont pas valeur d'exemple pour une résolution manuelle. Aucune astuce de calcul n'a été utilisée dans cet exemple.

Appliquons ces résultats à un mécanisme à croix de Malte à quatre branches ayant un entraxe de 100 mm. Les données numériques à considérer sont les suivantes : e = 100 mm R = e.cos(45°)

On obtient pour le rapport ω₃₁/ω₂₁ la courbe suivante, pour α₂₁ variant de -45° à +315°: